Ecuación de Clairaut
La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor a su inventor, el matemático francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:
y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right).
Para resolver la ecuación, diferenciamos respecto a x, quedando:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2 y}{dx^2}+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d^2 y}{dx^2},
por tanto
0=\left(x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\right)\frac{d^2 y}{dx^2}.
y así:
0=\frac{d^2 y}{dx^2}
ó
0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right).
En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, tenemos la familia de ecuaciones dadas por
y(x)=Cx+f(C),\,
llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.
El otro caso,
0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right),
define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.
Ejemplo:
Resolver:
xy'''+(y''')^2=y''.\,
Hacemos
y'' = p,\,
por tanto
xp' + (p')^2 = p,\,
obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es
p = y'' = Cx + C^2,\,
de la cual podemos obtener y integrando dos veces, así
y = \int\int y''\,dx dx = \int\int (Cx+C^2)\,dx dx = \int (\frac{Cx^2}{2}+C^2x+D)\,dx = \frac{Cx^3}{6}+\frac{C^2x^2}{2}+Dx+E,\,
siendo D y E otras dos constantes cualquiera.
Solución:
y = \frac{Cx^3}{6}+\frac{C^2x^2}{2}+Dx+E.

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